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Kleiner Exkurs in die Statik

Bezeichnungen

A Querschnittsfläche (bisher F)

As Querschnittsfläche des Stahles (bisher Fe)

Ab Querschnittsfläche des Betons (bisher Fb)

B Betonfestigkeitsklasse z. B. B 35

BSt Betonstahlfestigkeitsklassez. B. BSt 420/500

d Dicke einer Querschnittsfläche, auch d0 bei Plattenbalken

E Elastizitätsmodul

F Kraft

f Durchbiegung

G, g ständige Last

h statische Nutzhöhe eines Querschnitts

I Trägheitsmoment = Flächenmoment 2. Grades

i Trägheitsradius

k Beiwerte der Stahlbetonbemessung

l Stützweite

li ideelle Stützweite (Entfernung der Momenten - Nullpunkte)

M Biegemoment

N Normalkraft

Nk Knicklast (allg.)

P, p Verkehrslast

q Summe von g+p+s

Q Querkraft

s Schneelast

s Index für Stahl (bisher e)

s Systemlänge, auch Abstand zwischen zwei Bauteilen

S Statisches Moment = Flächenmoment 1. Grades

sk Knicklänge

s Windlast

W Widerstandsmoment

x, y, z Koordinaten

x Abstand der 0-Linie vom gedrückten Rand bei StB

z Hebelarm der inneren Kraft

Lasten

Nach DIN 1080 sind Lasten Kräfte, die von außen auf ein Gebäude einwirken, aber keine Reaktionskräfte sind.

Reaktionskräfte sind hier Auflagerkräfte.

Bremskräfte und Kräfte aus Längenänderung der Bauteile sind nicht Lasten sondern Kräfte.

Lasten und andere Kräfte werden unterschieden nach:

- Dauer ihrer Einwirkung

- Richtung, in die sie wirken

- Art ihrer Verteilung

Nach der Dauer ihrer Einwirkung wird unterschieden zwischen ständigen und nichtständigen Lasten. Unter den nichtständigen Lasten bilden die dynamischen Lasten eine besondere Gruppe.

Ständige Lasten sind:

Eigengewichte sowohl der tragenden, als auch der nichttragenden Bauteile. Sie sind immer da.

Nichtständige Lasten sind:

- Verkehrslasten durch Benutzer, Einrichtung Lagerstoffe etc.

- Schneelasten

- Windlasten

- Erddruck ( in den meisten Fällen als nichtständig anzunehmen)

- Kräfte, die aus der Längenänderung infolge Temperaturänderung, Trocknen, Schwinden etc. entstehen.

- Auch Bauteile, die eingebaut - aber auch wieder entfernt werden können, wie variable Trennwände - sind nichtständige Lasten.

- Dynamische Lasten sind z. B. Bremskräfte, Anpralllasten, Schwingungen (durch arbeitende Maschinen) und Erdbeben, die den Baugrund unter dem Gebäude bewegen. Infolge Massenträgheit der Gebäudeteile entstehen hieraus Kräfte.

Nach der Richtung werden unterschieden:

vertikale Lasten

horizontale Lasten in Gebäudelängsrichtung

horizontale Lasten in Gebäudequerrichtung

Weil Längs- und Querrichtung nicht immer eindeutig ist können die Bezeichnungen x- und y- Richtung verwendet werden. Die Vertikale wäre dann die z- Richtung. Schräg wirkende Lasten können in x- und y- und z- Komponenten zerlegt werden.

Verteilung der Lasten

Flächenlasten ( Eigengewicht einer Deckenplatte oder Wind drückt horizontal gegen eine Wand)

Streckenlasten (Deckenplatte liegt auf Balken oder Trägern)

Einzellasten (Träger liegt auf Wand auf)

Man vernachlässigt jeweils die geringe Fläche des Auflagers, oder die Breite eines Balkens bei der Berechnung, später bei der Bemessung eines Bauteils wird sie jedioch berücksichtigt.

Bezeichnungen und Symbole

Flächen und Streckenlasten bezeichnen wir mit kleinen Buchstaben

ständige Lasten mit g

Verkehrslasten mit p

Summe g + p mit q

Schneelast mit s

Windlast mit w

Bei der Windlast wird getrennt in:

Winddruck wD und Windsog wS

Zur Unterscheidung der Flächenlasten von den Streckenlast sollten die Buchstaben für die Flächenlast mit einem Querstrich versehen werden:

g

p

q

s

w

Flächenlasten werden in kN / m² (sehr kleine Lasten in N / m²)

Streckenlasten werden in kN / m (sehr kleine Lasten in N / m)

Für Einzellasten werden Großbuchstaben gewählt.

ständige Einzellasten G

Verkehrslast P

Schnee S usw.

Aber die Summe wird nicht mit Q bezeichnet, weil Q schon die Querkraft ist. Wir schreiben dann nur G + P evtl. +S.

Gleichgewicht der Kräfte und Momente

Merksatz:

Die Kräfte müssen im Gleichgewicht stehen.

Ein Bauteil, das nicht auf einem anderen aufliegt, fällt herunter. Damit es das nicht tut, muß es aufgelagert sein und die Auflager müssen die erforderlichen Gegenkräfte entwickeln können, um das Bauteil im Gleichgewicht zu halten.

Beispiel:

Wenn z. B. ein Bauwerk 500 kN wiegt, d. h. mit einer Vertikalkraft von 500 kN auf den Baugrund drückt, so muß der Baugrund in der Lage sein, einen Gegendruck vonn 500 kN zu entwickeln.

Der Baugrund muß also eine Reaktionskraft entwickeln, die der Aktionskraft - in unserem Beispiel 500 kN - gleich ist, aber entgegengesetzt gerichtet verläuft.

Aktion = Reaktion.

Aktionskräfte werden durch einen geschlossenen Pfeil dargestellt, Reaktionskräfte durch einen offenen.

In unserem Beispiel wirken die Aktionskraft und die Reaktionskraft vertikal. Vertikalkräfte werden mit V bezeichnet. Nach unten wirkende Vertikalkräfte werden mit positivem Vorzeichen ( + ) bezeichnet. Entsprechend bekommen die nach oben wirkenden Kräfte ein negatives Vorzeichen ( - ) .

Es gilt:

Die Summe der Vertikalkräfte ist Null.

S V = 0

Die Summe der Horizontalkräfte ist Null.

S H = 0

Wie schon bei den Lasten sind auch hier die beiden Horizontalrichtungen Hx und Hy zu unterscheiden, es muß also gelten:

S Hx = 0

S Hy = 0

Doch selbst, wenn für ein Bauwerk oder für ein Bauteil die Bedingungen S V = 0, S Hx = 0 und S Hy = 0 erfüllt sind, so ist sein Gleichgewicht noch nicht gewährleistet.

Denn wenn man sich einen Turm vorstellt, könnte auch dieser trotz guter horizontaler Verankerung kippen, wenn nicht auch Maßnahmen zur Aufnahme des Drehmoments getroffen würden, das entsteht, wenn Aktion und Reaktion nicht in derselben Wirkungslinie angreifen, sondern um einen Hebelarm a gegeneinander versetzt sind.

Dem Drehmoment M muß ein gleichgroßes Reaktionsmoment Mī entgegenwirken, damit Gleichgewicht herrscht.

Es gilt:

Die Summe der Momente ist Null

S M = 0

 

Diese Bedingung muß in jeder der drei Ebenen gelten, die durch die vertikale Richtung, die horizontale x- Richtung und die horizontale y- Richtung bestimmt werden.

Im 3- dimensionalen Raum - d. h. für jedes Bauwerk und jedes Bauteil - müssen also insgesamt 6 Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden:

S V = 0

S Hx = 0

S Hy = 0

S Mxz = 0

S Myz = 0

S Mxy = 0

Bei den meisten Gebäuden und Bauteilen ist es möglich, die verschiedenen Ebenen getrennt zu betrachten und nacheinander zu untersuchen. Dies führt zu einer wesentlichen Erleichterung der Arbeit.

Bei der Betrachtung in jeder einzelnen Ebene genügt es jeweils, 3 Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen, in der Regel:

S V = 0

S H = 0

S M = 0

 

Auflager

Art der Auflager

Ein Bauteil liegt auf einem anderen Bauteil auf. Es ist auf diesem aufgelagert. Die Verbindungsstelle zwischen diesen beiden Bauteilen heißt Auflager.

Wir unterscheiden 3 Arten der Auflager:

1. Einspannende Auflager

2. Unverschieblich-gelenkige Auflager

3. Verschiebliche Auflager

Einspannende Auflager

Einspannung eines Trägers in einer Wand

Symbol

Aufnehmbare Kräfte

Einspannung einer Stütze im Fundament

Symbol

Aufnehmbare Kräfte

Der skizzierte Träger ist in einer Wand, die skizzierte Stütze in einem Fundament eingespannt. Am einspannenden Auflager können Vertikalkräfte und Momente aufgenommen werden, d. h. das Auflager kann diesen Kräften und Momenten entsprechende Reaktionen entgegensetzen.

Unverschieblich-gelenkige Auflager

Träger liegt auf der Wand auf

Symbol

Aufnehmbare Kräfte

Stütze steht auf Fundament

Symbol

Aufnehmbare Kräfte

Von diese Auflagern können vertikale und horizontale Kräfte, jedoch keine Momente aufgenommen werden. Die Bauteile sind zwar unverschieblich, aber drehbar gelagert. Das Auflager bildet ein Gelenk; es wird durch einen kleinen Kreis oder die Spitze eines Dreiecks symbolisch dargestellt.

Verschiebliche Auflager

Träger liegt auf Rollenlager

Symbol

Aufnehmbare Kräfte

Viele Brückenträger sind deutlich erkennbar als Rollenlager ausgebildet. Die Wärmedämmung der Brücke erfordert, daß der Brückenträger nur an einem Auflager unverschieblich, an allen anderen verschieblich gelagert ist, weil sonst die Wärmedehnung zu hohen Spannungen in den Bauteilen führen könnte.

Es müssen nicht immer Rollen sein, man kann auch einen kleinen Bewegungsspielraum (Langlöcher z. B.) zwischen zwei nur locker verbundenen Bauteilen konstruieren, um die erforderliche Verschieblichkeit zu gewährleisten.

Verschieblich Auflager können nur Kräfte in einer Richtung und keine Momente aufnehmen.

Für die Berechnungen und die Aufstellung der Gleichungen müssen wir eine Vereinbarung über die Vorzeichen treffen:

Wahl der Vorzeichen für Drehmomente:

Wir nennen Drehmomente

rechtsdrehend positiv ( + )

linksdrehend negativ ( - )

 

Ermittlung der Auflagerkräfte

Einzellast:

Gegeben ist ein Träger auf 2 Stützen, belastet mit einer Einzellast P. Das Eigengewicht oder andere Lasten sollen zunächst außer acht bleiben, wir betrachten nur P. Gesucht sind die Auflagerreaktionen A und B.

Zur Lösung stehen uns die 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Welche ist hier geeignet?

S V = 0

führt zu - A - B + P = 0

(Wir gehen davon aus, daß die Auflagerreaktionen nach oben wirken. Wie zuvor erläutert, zuvor erläutert, bezeichnen wir nach oben wirkende Kräfte mit ( - ). Dies wird noch näher erläutert.)

Hier hilft uns aber nur eine Gleichung mit zwei unbekannten wenig, sie ist nicht lösbar. Mit dieser Gleichung allein kommen wir nicht zum Ziel.

Versuchen wir es mit

S H = 0

Das bringt uns nicht weiter, weil H- Kräfte nicht auftreten. Nächster Versuch:

S M = 0

Diese Bedingung muß um jeden Punkt gelten. Wenn das System im Gleichgewicht ist, so dreht es sich um keinen Punkt. Das heißt:

Um jeden Punkt ist S M = 0.

Wir können also einen beliebigen Drehpunkt wählen - z. B. den Punkt X in unserer Skizze. Mit Hilfe eines anderen Drehpunktes oder mit Hilfe der Bedingung S V = 0

Können wir dann eine zweite Gleichung aufstellen, um so die 2 Unbekannten zu lösen. Doch dieses Verfahren wäre mühsam. Wir suchen nach einer einfacheren Methode. Wir nehmen den Drehpunkt in einem Auflager an z. B. am Auflager B. Das hat zur Folge, daß die unbekannte Auflagerkraft B mit dem Hebelarm 0 (Null) wirkt und sich so leicht eliminieren läßt. Es wirken um den Drehpunkt folgende Drehmomente:

A * l rechtsdrehend

P * b linksdrehend

B * 0 keine Drehung

Um eine Gleichung zu bilden, müssen wir eine Vereinbarung über die Vorzeichen treffen.

Wahl der Vorzeichen für Drehmomente:

Wir nennen Drehmomente

Rechtsdrehend positiv ( + )

Linksdrehend negativ ( - )

Grundsätzlich könnte diese Wahl auch anders getroffen werden, aber innerhalb einer Untersuchung muß sie beibehalten werden.

Damit lautet die Gleichung für Drehpunkt B:

+ A * l - P * b ± B * 0 = 0

+ A * l - P * b = 0 / + P * b / : l

A =

Um B zu ermitteln können wir jetzt zwischen 2 Methoden wählen:

  1. Methode:
  2. Wir verfahren wie oben und wenden die Bedingungen

    S M = 0 an mit dem Drehpunkt A.

    Dann ist

    B * l linksdrehend und

    P * a rechtsdrehend

    - B * l + P * a ± A * 0 = 0

    - B * l + P * a = 0

    B =

  3. Methode:

Nachdem A bekannt ist können wir B auch bestimmen über

S V = 0.

+ P - A - B = 0

B = P - A

Für A setzen wir den bereits bekannten Wert ein und erhalten damit

B = P - =

B = / l - b = a

B =

Dasselbe Ergebnis hat bereits S M = 0 geliefert.

Vorzeichen

Hier könnte man stutzen. Wir hattren doch festgelegt, eine nach oben wirkende Kraft wird negativ ( - ) angesetzt. Wieso erhalten wir jetzt die doch offensichtlich nach oben wirkenden Auflagerkräfte A und B mit positivem Vorzeichen?

Wir waren von vernherein davon ausgegangen, daß Auflagerreaktionen nach oben wirkende Kräfte seien und hatten sie deshalb mit dieser Richtung in die Skizze eingetragen.

Mit dieser Richtung - nach oben wirkend - mußten wir jetzt konsequent weiterarbeiten. In den Rechengang wurden diese Auflagerreaktionen also mit ( - ) eingesetzt. Wenn als Ergebnis die Auflagerkraft mit ( + ) erscheint, so bedeutet das: Die Richtung der Kraft ist so, wie wir sie in die Gleichung eingesetzt haben, also nach oben wirkend. Ein nochmaliges ( - ) im Ergebnis hingegen würde das erste, in die Gleichung eigesetzte ( - ) umkehren, weil ( - ) * ( - ) = +.

Es würde bedeuten: Die Kraft wirkt nicht wie eingesetzt, sondern sie wirkt entgegengesetzt, also nach unten.

So bleibt das Ergebnis unabhängig von der Vorzeichenwahl des Rechenganges:

( + ) im Ergebnis bedeutet immer:

Die getroffene Annahme über die Kraftrichtung war richtig.

 

Innere Kräfte und Momente

Bisher haben wir Kräfte und Momente untersucht, die lastend oder stützend von außen an einem Tragteil angreifen - die äußeren Kräfte und Momente.

Jetzt sollten wir uns an die Kräfte und Momente im Innern des Tragteils machen, wie sie das Tragteil zusammenhalte, verformen oder zerstören.

Auch für diese inneren Kräfte und Momente muß sein:

Aktion = Reaktion

Die inneren Kräfte und Momente in einem Tragteil sind ein Ergebnis der äußeren Kräfte und Momente, die auf dieses Tragteil einwirken.

Dort waren es horizontale Kräfte, vertikale Kräfte und Momente.

Für die Inneren Kräfte ist eine etwas andere Unterteilung zweckmäßiger. Hier ist es vor allem von Bedeutung, ob eine Kraft längs oder quer zur Stabachse gerichtet ist. Wir unterscheiden deshalb:

- Längskräfte N. Sie wirken in Richtung der Stabachse (auch Normalkräfte genannt, weil sie normal, d. h. senkrecht auf den Querschnitt wirken).

- Querkräfte Q. Sie wirken quer zur Stabachse.

- Momente M

Die inneren Kräfte und Momente an einer zu untersuchenden Stell eines Tragteils bestimmen wir mit folgendem Denkmodell:

Wir denken uns dieses Tragteil an dieser Stelle quer durchgeschnitten. Damit werden die inneren Kräfte an der Schnittstelle unterbrochen.

Aus dem Tragteil werden zwei Teilstücke, die herunterfallen würden, träfen wir keine weiteren Maßnahmen. Als solche Maßnahme, die ein abgeschnittenes Teilstück wieder ins Gleichgewicht bringt, führen wir am Schnitt Kräfte und ein Moment ein, die - gleichsam von außen - so angreifen, wie vor dem Schneiden die inneren Kräfte über die Schnittfläche von teilstück zu Teilstück wirkten.

Wir fragen uns also:

Welche Kräfte und welches Moment müssen wir an der gedachten Schnittfläche ansetzen, um die inneren Kräfte und Momente zu ersetzen, d. h. um am Querschnitt wieder Gleichgewicht herzustellen? Wegen dieses Denkmodells sprechen wir auch von Schnittkräften. Dieser Begriff umfaßt auch das innere Moment.

Längskräfte

Längskräfte wirken in Richtung der Stabachse.

Als Zugkräfte längen sie das Bauteil, als Druckkräfte verkürzen sie es. Für Längskräfte gilt die Vorzeichenregel:

Zug + (wird länger)

Druck - (wird kürzer)

Längskräfte - auch Normalkräfte genannt - , werden in der Regel mit N bezeichnet. Will man hervorheben, daß es sich um eine Zugkraft handelt, so kann man auch die Bezeichnung Z bzw. für Druck D wählen.

Querkräfte

Querkräfte wirken, - wie der Name schon sagt - quer zur Stabachse.

Als Beispiel sollten wir uns ein Blatt Papier vorstellen, das wir mit einer Schere durchschneiden wollen.

Die Schere erzeugt eine Querkraft, die das Werkstück teilt.

Querkraft ist Scherkraft.

Beispiel:

In diesem Beispiel betrachten wir nur die Kraft P und vernachlässigen das Eigengewicht des Balkens.

Zunächst müssen wir die Auflagerreaktionen kennen.

Aus S V = 0

P - A = 0

A = P

aus S M = 0 um Drehpunkt A folgt

- P x c + Mī = 0

Mī = +P x c

Jetzt sind alle äußeren Kräfte und Momente - Last und Auflagerreaktionen - bekannt, und wir können an die Ermittlungen der inneren Kräfte gehen.

Wir werden bei der Ermittlung der Querkraft von zunächst links nach rechts vorgehen.

Wir beginnen also links am vorderen Ende des Balkens, am Punkt 1. Hier denken wir uns einen Schnitt quer durch den Balken gelegt und fragen uns: "Welche äußeren Kräfte quer zur Stabachse wirken links von diesem Schnitt?"

Antwort: Keine. Die Querkraft ist hier

Q1 = 0.

Wir gehen den Balken entlang nach rechts - zunächst tritt kein äußerer Einfluß auf, der die Querkraft verändern könnte. Den nächste Schnitt legen wir unmittelbar links von Punkt 2, an dem die Kraft P wirkt. Der Schnitt heißt 2 l (2 links).

Wieder betrachten wir die äußeren Kräfte links von diesem Schnittund stellen fest: Noch kein Einfluß quer zur Stabachse. Also

Q2 l = 0

Den nächsten Schnitt legen wir ein kleines Stück rechts von Punkt 2, es ist der Schnitt 2 r. Wieder schauen wir nach links und stellen fest: Jetzt hat sich etwas geändert. Die äußere Kraft P wirkt links von diesem Schnitt. Damit ist die Querkraft um diesen Wert P größer geworden.

Dennn die Querkraft ist ja die Summe aller querwirkenden Kräfte links von dem betrachteten Schnitt.

Die Querkraft Q2 r muß also gleich P sein.

Wir bezeichnen die Querkraft als positiv, wenn sie links vom Schnitt nach oben wirkt und zeichnen im Diagramm die positiven Querkräfte nach oben. W ir bezeichnen die Querkraft als negativ, wenn soe links vom Schnitt nach unten wirkt und zeichnen negative Querkräfte nach unten.

Der Kraft, die links vom Schnitt nach oben wirkt, muß rechts vom Schnitt eine gleich große nach unten wirkende entgegenstehen, damit an diesem Schnitt Gleichgewicht herrscht. Wir können also die Vorzeichenregel auch formulieren:

Eine Querkraft ist positiv, wenn sie am linken Schnittufer nach oben, am rechten nach unten wirkt.

In unserem Fall ist also:

Q2 r = - P

Als nächstes betrachten wir den Schnitt Al, als unmittelbar links neben dem Auflager A. Hier hat sich die Querkraft nicht gegenüber Q2 r geändert - es ist keine äußere Kraft hinzugekommen.

QAl = Q2r = - P

Wer ist der Mann mit der Hakennase ???

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